Une version non publiée de Claude relève à 67,2 % la borne inférieure de la proportion de zéros de la fonction zêta de Riemann

Le 10 août 2026, une version de recherche non publiée de Claude, développée par Anthropic, a relevé de 41,6 % à 67,2 % la borne inférieure de la proportion de zéros de la fonction zêta de Riemann situés sur la droite critique. Ce résultat a été vérifié par deux mathématiciens de l'entreprise et par deux experts externes de premier plan.

Qu'est-ce que l'hypothèse de

Riemann, et pourquoi ces 41,6 % comptent-ils ?

Formulée en 1859, l'hypothèse de Riemann est l'un des problèmes non résolus les plus célèbres des mathématiques ; l'institut Clay offre un million de dollars à qui la démontrera. La fonction zêta de Riemann décrit la répartition des nombres premiers : chacun de ses zéros non triviaux apporte une information de plus en plus fine sur la suite des nombres premiers. L'hypothèse affirme que tous ces zéros se trouvent sur une même droite verticale, la droite critique.

Personne n'a encore réussi à démontrer ni à réfuter cette affirmation. En parallèle, les mathématiciens ont relevé progressivement la borne inférieure : quelle proportion minimale de zéros peut-on garantir sur la droite critique ? Avant le résultat de Claude, ce record s'établissait à 41,6 %.

Comment Claude est parvenu à ce résultat

Claude a relevé la borne inférieure à 67,2 % en s'appuyant sur la synthèse de plusieurs lignes de recherche mathématiques.

• Précédent record de la borne inférieure : 41,6 % (détenu pendant de nombreuses années)
• Nouveau résultat : 67,2 %, soit un gain de plus de 25 points de pourcentage
• La méthode s'appuie sur une série de travaux de Baluyot, Goldston, Suriajaya et Turnage-Butterbaugh, qui ont permis d'appliquer les techniques de Montgomery (1973) sans supposer la validité de l'hypothèse
• L'article de Bombieri de 2000 a joué un rôle clé
• La démonstration a été vérifiée par deux mathématiciens d'Anthropic ; à la demande de l'entreprise, les professeurs Brian Conrey et Dan Goldston, spécialistes de premier plan de la théorie analytique des nombres, l'ont également examinée de façon indépendante
• Claude a en outre construit une démonstration formellement vérifiable, qui se prête à une vérification automatique

Un employé d'Anthropic a proposé à Claude de tenter sérieusement de démontrer l'hypothèse de Riemann. Au cours de cet essai, le modèle n'a pas résolu le problème de 1859, mais il est tombé sur une voie inattendue pour améliorer la borne inférieure. Sur le plan technique, Claude a construit un espace de fonctions muni d'une forme quadratique induite par Weil et en a isolé des sous-espaces définis positifs et définis négatifs. D'après la description d'Anthropic, l'étape décisive a consisté à accepter de travailler dans l'espace entier, sans réduire la forme quadratique à une forme diagonale.

Que signifie ce résultat pour l'IA dans la recherche scientifique ?

Selon Anthropic, les techniques employées ne mèneront probablement pas directement à une démonstration complète de l'hypothèse de Riemann. Le résultat reste néanmoins révélateur : un modèle d'IA a synthétisé l'arsenal mathématique de plusieurs décennies et trouvé un rapprochement que personne n'avait remarqué avant lui.

«

Son travail est le dernier exemple en date de la vitesse à laquelle progressent les capacités mathématiques des modèles d'IA », indique le blog officiel d'Anthropic, publié le 10 août 2026.

D'après la description d'Anthropic, cette percée a été rendue possible parce que des travaux récents ont permis de lever la dépendance à l'hypothèse de Riemann : c'est à ce moment-là que la combinaison des sources a produit un résultat supérieur au record précédent.

Ce que cela signifie

Les modèles de langage passent de raisonnements plausibles sur les mathématiques à des démonstrations vérifiables, reconnues par la communauté des experts. Le résultat de Claude est formellement vérifiable et confirmé par des spécialistes indépendants : on change de catégorie par rapport à la génération d'un texte qui « sonne mathématique ».

Questions fréquentes

Claude a-t-il démontré l'hypothèse de Riemann ?

Non. Claude a relevé de 41,6 % à 67,2 % la borne inférieure de la proportion de zéros de la fonction zêta situés sur la droite critique, mais l'hypothèse elle-même n'est toujours pas démontrée : ce sont deux problèmes fondamentalement différents.

Qui a confirmé la validité de la démonstration ?

Deux mathématiciens d'Anthropic ont examiné et vérifié le travail, puis rédigé un bref résumé à l'intention des spécialistes. À la demande de l'entreprise, les professeurs Brian Conrey et Dan Goldston, spécialisés précisément dans ce domaine de la théorie des nombres, ont vérifié le résultat de manière indépendante.

Existe-t-il une démonstration formellement vérifiable ?

Oui. En plus du texte mathématique de fond, Claude a construit une démonstration formellement vérifiable, qui peut être contrôlée automatiquement à l'aide de systèmes de vérification formelle.